Question

在三角形ABC中cd垂直ab于d,若ad等于2bd,ac等于5,bc等于4,求bd的长

Answer 1

由于三角形的高与三角形的位置关系有三种：（1）高在三角形的内部，（2）高在三角形的外部，（3）高在三角形的一边上。由题意知，高不能在三角形的一边上，故分高在三角形内部和三角形外部两种情况考虑。

（1）高在三角形的内部，如图设BD=m，则AD=2m，

在直角三角形ADC中，由勾股定理得 AD^2+CD^2=AC^2，于是有CD^2=AC^2-AD^2，

同理在直角三角形BDC中，由勾股定理得 BD^2+CD^2=BC^2，于是有CD^2=BC^2-BD^2，

等量代换得  AC^2-AD^2=BC^2-BD^2，于是有25-(2m)^2=16-m^2，解得m=根号3；

（2）高在三角形的外部，如图，设BD=m，则AD=m，

同上可得  AC^2-AD^2=BC^2-BD^2，于是有25-(2m)^2=16-m^2，解得m=根号3；

综上可知，BD=根号3。

需要说明的是，解题时如果只考虑一种情况，虽然最终结果相同，但解题过程却是不完整的。

想再插入一个图形，却插不进去了，不好意思哈，自己试着画一个吧。

Answer 2

设BD=x，则AD=2x，有：5^2-(2x)^2=4^2-X^2
3x^2=9
x^2=3
x=√3