Question

{an},{bn}中a1=2,b1=4,an,bn,an+1成等差数列bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N*）

（2）证明：1/（a1+b1）+1/（a2+b2）+…1/（an+bn）＜5/12

Answer 1

(2)由已知得an=n(n+1),bn=(n+1)^2,所以an+bn=2n^2+3n+1>2n^2+2n=2n(n+1),所以1/an+bn<1/2n(n+1)=1/2(1/n-1/(n+1)),如果从第一项开始放缩，则1/(a1+b1)+...+1/(an+bn)<1/2(1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1))=1/2-1/2(n+1)因为1/2>5/12,所以放得太大，不妨从第2项开始放缩，则原式<1/6+1/2(1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n-1/(n+1))=5/12-1/2(n+1)<5/12,所以原不等式成立。 （这种数列题其实很好做的，一般都是用放缩，有时从第一项开始放缩，有时放的太大或太小，可以考虑从后面几项开始放缩，一般不会超过3项，题目做多了自然就会有这种感觉，呵呵，我是高三的学生，马上要高考了，一起努力吧）