Question

等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，直线y=1/2x截双曲线所得弦的长为2√15，则此等轴双曲线的方程是？

等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，直线y=1/2x截双曲线所得弦的长为2√15，则此等轴双曲线的方程是？
答案：x^2-y^2=9,为什么？
这道题怎么做？我首先想到设双曲线的方程为x^2-y^2=a^2，但再套用弦长公式就不会做了，求详细解法、过程~~~~~~~~~~

Answer 1

设为x^2-y^2=a^2与y=1/2x消去y得：
3x^2-4a^2=0
x1+x2=0, x1·x2=-4a^2/3
再用套用弦长公式：AB=√1+K^2√（x1+x2）^2-4x1·x2=2√15得
√1+（1/2）^2·√16a^2/3=2√15
∴√5·√a^2/3=√15
∴a^2=9
双曲线的方程是：x^2-y^2=9