Question

下面一道有趣的数列大题，大家有空看下吧：

数列{an}恒满足等式 a(n+1) = 1/2 an + √3 /2 × √(1-a²n) ，其中a1∈（1/2 ，1）
数列{bn}恒满足等式bn= an / (2^n)
求证：
1.a(n+2)=an
2.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＜√7 /3

Answer 1

(1)、令a1=sinα α∈(π/3,π/2)
a2=sinα*cos(π/3)+sin(π/3)*|cosα|
=sin(α+π/3)
a3=sin(α+π/3)*cos(π/3)+sin(π/3)*|cos(α+π/3)|
α∈(π/3,π/2)，则 α+π/3∈(2π/3,7π/6)
cos(α+π/3)<0
所以
a3=sin(α+π/3)*cos(π/档源如3)-sin(π/3)*cos(α+π/3)
=sin(α+π/3-π/3)
=sinα=a1
同理可得 a4=a2
a5=a3
即 数列 an隔项相等，是循环数列，也就是 a(n+2)=an
（2）、由（1）可知an是隔项相等的循环数列，所以bn是两个等比数列交替的数列
其中奇数裂判项是首项为a1/2，公比为 1/4
偶数的首项是a2/4,公比也为1/4

所以 Tn< 1/2*a1/(1-1/4)+1/4*a2/行启(1-1/4)=2/3*a1+1/3*a2=1/3*(2a1+a2)
而 1/3*(2a1+a2)= 1/3*(2sinα+sin(α+π/3))=1/3*(5/2*sinα+√3/2*cosα)<=1/3*√((5/2)^2+(√3/2)^2)=1/3*√(28/4)=√7/3
也就 Tn<√7/3

追问

呵呵，答的很漂亮，不过第一问的后面好像已经不需要同理了，因为a4=a2还需要条件a2∈（1/2，1）
我觉得其实只要证a3=a1,因为递推式的形式就像a(n+1)=f(an)，
a3=a1,就必然有f(a3)=f(a1),也就是a4=a2……之后同理就行。
顺便说下对这道大题的印象好么，谢谢

追答

第一问的严格证法应该用数学归纳法，这儿只是简单写下解题的思路。
一般有 an和 √(1-a²n) ，都可以考虑做三角变换，前面的系数不是特殊值也无所谓，是常数就可以。
第二问用的无穷递缩等比数列。
这题还不错，不做代换也可以解，不过比较麻烦。