Question

椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，焦点到相应准线的距离以及离心率e=根号2/2,直线直线l与y轴交于P点(

与椭圆C交于相异两点A,B，且向量AP=&向量PB，
求椭圆方程
若向量OA+λ向量OB=4向量OP，求m的取值范围。

Answer 1

椭圆上的点到焦点的最短距离就是长轴端点到对应焦点的长度.
由其等于1-e可知a=1
e=c/a c=√2/2
b^2=a^2-c^2 b^2=1/2
椭圆方程为
2X^2+Y^2=1
⑵
设A(X1,Y1) B(X2,Y2)
由向量AP=λ向量PB
-X1=λX2
m-Y1=λ(Y2-m)
由向量OA+λ向量OB=4向量OP
X1+λX2=0
Y1+λY2=4m
联立以上4式
λ=3
即 X1^2=9X2^2 Y1^2=(4m-3Y2)^2 ①
由椭圆方程
2X1^2+Y1^2=1 2X2^2+Y2^2=1
将①代入解得
2m^2-3mY2+1=0
Y2=(2m^2+1)/3m
由于Y2∈[-1,1]
(2m^2+1)/3m∈[-1,1]
解得
m∈[-1,-1/2]∪[1/2,1]

追问

椭圆上的点到焦点的最短距离就是长轴端点到对应焦点的长度.
由其等于1-e可知a=1
这是如何得的