Question

已知f(x)=ax的三次方除以3-（a+1)x^2+4x+1，a属于R，（1）当a=-1时，求函数的单调区间。

Answer 1

1、
增区间
f'(x)=ax²-2(a+1)x+4=(ax-2)(x-2)>0

a<0
则2/a<2
开口向下
所以2/a<x<2,f'(x)>0

a=0
f'(x)=-2(x-2)>0
x<2

0<a<1,开口向上
2/a>2
所以x<2,x>a

a=1,(x-2)²>0
x-2≠0

a>1
2/a<2

所以
a<0,(2/a,2)
a=0,(-∞,2)
0<a<1,(-∞,2)∪(2/a,+∞)
a=1,(-∞,2)∪(2,+∞)
a>1,(-∞,2/a)∪(2,+∞)

2、
a<0
2/a<x<2是增函数
x<2/a是减函数
若-1<=2/a<0
a<=-2
则x=-1是最小值点
f(-1)=-a/3-a-1-4-1=-3
a=-27/4

若2/a<-1,-2<a<0
则[-1,0]是增函数
有上面结果，最小值是f(-1)
a=-27/4,不符合-2<a<0

所以a=-27/4

Answer 2

当a=-1时，f(x)=-(x^3)/3+4x+1
f’(x)=-x^2+4=0 x=±2 导函数为a＜0的二次函数,图像开口向下。
f’(x)＜0 x∈（-∞,-2)∪(2,∞） f(x)为单调递减区间；
f’(x)＞0 x∈〔-2，2〕 F(x)为单调递增区间。