Question

设函数f(x)=e^x-1-x-ax^2 若当x>=0时，f(x)>=0，求a的取值范围

要详细解释

Answer 1

易知
f(0)=0
f'(x)=e^x-1-2ax
f'(0)=0
f''(x)=e^x-2a
f''(0)=1-2a
当a<=1/2时
对任意的x>=0
f''(x)=e^x-2a>=1-1=0
所以f'(x)在定义域内为增函数
f'(x)>=f'(0)=0
所以f(x)为增函数，f(x)>=f(0)=0

为证明的严谨性，下面证明a>1/2 时存在x,使得f(x)小于0
当a>1/2时
存在0<x0<ln2a ,f''(x0)<0
所以f‘(x)在[0,x0]为减函数，所以 对任意的x∈[0,x0],f'(x)<f'(0)=0
所以f(x)在[0,x0]为减函数， 存在x∈[0,x0],f(x)<f(0)=0
故对a>1/2时原命题不成立。

所以a<=1/2

追问

请不要复制别人的答案，这个答案我已经看过，我想要一种更简捷的方法