Question

已知三角形ABC中,角A,B,C成等差数列,求证1/a+b+1/b+c=3/a+b+c

Answer 1

因为(a+b+c)*(1/(a+b) + 1/(b+c))
= (a+b+c)/(a+b) + (a+b+c)/(b+c)
= 1 + c/(a+b) + 1 + a/(b+c)
= 2 + c/(a+b) + a/(b+c)
= 2 + sinC/(sinA+sinB) + sinA/(sinB+sinC)
因为A,B,C成等差数列，所以A-B = B-C，即A+C=2B，易得B=60度。

所以
(a+b+c)*(1/(a+b) + 1/(b+c))
= 2 + sinC/(sinA+sinB) + sinA/(sinB+sinC)
= 2 + sinC/(2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)) + sinA/(2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2))
= 2 + sinC/(2*cos(C/2)*cos((A-B)/2)) + sinA/(2*cos(A/2)*cos((B-C)/2))
= 2 + sin(C/2) / cos((A-B)/2) + sin(A/2) / cos((B-C)/2)
= 2 + (sin(C/2) + sin(A/2)) / cos((A-B)/2)
= 2 + 2sin(B/2)cos((A-B)/2) / cos((A-B)/2)
= 2 + 2sin(B/2)
= 2 + 2sin30
= 3
故1/(a+b) + 1/(b+c) = 3/(a+b+c)

Answer 2

已知三角形ABC中,角A,B,C成等差数列,则A+C=2B,A+C+B=3B=180度，B=60度
由余弦定理得b^2=a^2+c^2-2accosB=a^2+c^2-2ac60度=a^2+c^2-ac=(a+c)^2-3ac,
即b^2=(a+c)^2-3ac
要证1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)
只要证3[b^2+ac+(a+c)b]=(a+b+c)(a+c+2b)（通分去分母得到的）
即证3b^2+3ac+3(a+c)b=(a+c)^2+3b(a+c)+2b^2
即b^2=(a+c)^2-3ac
所以1/a+b+1/b+c=3/a+b+c成立

Answer 3

∵A,B,C成等差数列，∴2B=A+C=180°-B ,∴B=60°,
∴b^2=a^2+c^2-2ac·cos60°,∴b^2=a^2+c^2-ac
要证：1/a+b+1/b+c=3/a+b+c ,
需证：（a+b+c）/（a+b）＋ （a+b+c ）/（b＋c ）/c=3
需证：c/（a+b）+a/（b+c）=1
需证：c（b+c）/（a+b）（b+c）+a（a+b）/（b+c）（a+b）=1
需证：bc+c^2+a^2+ab=ab+ac+b^2+bc
需证：b^2=a^2+c^2-ac。此式 显然成立
∴1/a+b+1/b+c=3/a+b+c