Question

大一高数，求解

Answer 1

定义域：

1≥x/（1+x）≥0，x≠-1
1≥1-1/（1+x）≥0
0≥-1/（1+x）≥-1
0≤1/（1+x）≤1
1+x>0,x>-1
0≤1≤1+x,x≥0
设x=tan²u，dx=2tanusec²udu，u∈[0,π/2],
原式=∫arcsin（tanu/secu）2tanusec²udu
=∫arcsin（sinu）2tanusec²udu
=∫2utanusec²udu
=∫2usinu/cos³udu
=-2∫u/cos³udcosu
=∫ud（cos^(-2)u)
=u/cos²u-∫1/cos²udu
=u/cos²u-∫（sin²u+cos²u）/cos²udu
=u/cos²u-∫（tan²u+1）du
=u/cos²u-∫sec²udu
=u/cos²u-tanu+C
验证：求导=1/cos²u+u（-2）/cos³u.（-sinu）-sec²u
=2usinu/cos³u=2utanu/cos²u
x=tan²u，√x=tanu，u=arctan√x，
x=0，u=0，x=3，u=π/3
积分值=（π/3）/cos²（π/3）-tan（π/3）
=4π/3-√3