Question

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,O为AB上一点,以O为圆心,OB长为半径的圆,交BC边于点D，与AC边相切与点E

（1）求证：BE平分∠ABC（2）若CD：BD=1：2，AC=3√￣3，求CD的长

Answer 1

作OF⊥BC于F，连接OE。

则BF=DF（垂径定理）

∵CD∶BD=1∶2

∴CD=DF=BF

∴BF∶CF=1∶2

∵∠OFB=∠ACB=90°

∴OF//AC

∴OB/OA=BF/CF=1/2

即OB=1/2OA

∵OE=OB

∴OE=1/2OA

∵AC是⊙O的切线

∴∠AEO=90°=∠ACB

∴OE//BC

∴AE/AC=OA/AB=2/3

AE=2/3AC=2√3

则OA=4，OE=2

∵∠OEC=∠ECF=∠OFC=90°

∴四边形OECF是矩形

∴CF=OE=2

则CD=DF=1

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