Question

高中数学 函数 不等式

已知函数f（x）=lnx+（1-x）/ax，a为大于零的常数
求证对于任意大于一的整数，lnn>1/2+1/3+……1/N

Answer 1

a=1时，f（x）=lnx+（1-x）/x
=lnx+1/x-1
求导f’（x）=1/x-1/x^2=(x-1)/ x^2,
显然，x>1时，函数递增；0<x<1时，函数递减。
x=1时，函数取到极小值。
f（x）>f(1)= ln1+1/1-1=0
即lnx+1/x-1>0，
lnx>1-1/x.
分别令x=2,3/2,4/3,……， n/(n-1)可得：
ln2>1-1/2=1/2,
ln3/2>1-2/3=1/3,
ln4/3>1-3/4=1/4,
………………
ln n/(n-1)>1- (n-1)/ n=1/n.
以上各式相加得：
ln2 +ln3/2 +ln4/3+………+ln n/(n-1)> 1/2+1/3+……+1/n，
即lnn> 1/2+1/3+……+1/n，

Answer 2

f（x）=lnx+（1-x）/(ax)
=lnx+1/(ax)-1/a
f’（x）=1/x-1/(ax^2)=(ax-1)/ax^2
令ax-1=0==>x=1/a
f’’（x）=-1/x^2+2/(ax^3)<0
∴x=1/a时，函数f(x)取极小值。
∵a>0
当0<a<1时，1/a>1，即函数f(x)极值点大于1
不能保证n能取到1，2；
当a>=1时，1/a<=1，即函数f(x)极值点小于等于1
∴此时能保证当x>=1时，f（x）单调增；
f(1)= ln1=0==>lnx+(1-x)/(ax)>0，
lnx>(x-1)/(ax)=1/a(1-1/x)
分别令x=2,3/2,4/3/,……， n/(n-1)可得：
ln2>1/a(1-1/2)=1/(2a)
ln3/2>1/a(1-2/3)=1/(3a)
ln4/3>1/a(1-3/4)=1/(4a)
……
ln( n/(n-1)>1/a(1-(n-1)/n)=1/(na)
Ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln( n/(n-1)=ln(n)
Ln(n)> 1/a(1/2+1/3+…+1/n)，
又当a=1时，1/a(1/2+1/3+…+1/n)取最大值
∴Ln(n)> 1/2+1/3+…+1/n，

Answer 3

（1-x）/ax中的x是在分母上吗？