Question

希尔伯特空间,量子力学

1、完备的内积空间是希尔伯特空间。这里‘完备’的数学定义是什么，给出详细说明。
2、定义内积空间时，有(lx,y)=l(x,y), (x,my)=m*(x,y). 但是根据量子力学中的内积定义有：
(lx,y)=l*(x,y), (x,my)=m(x,y). 两者有什么区别

Answer 1

1.量子力学中本征态的完备性是指，一个力学量的一组本征态能构成一组完备的基矢，也就是说任意一个态函数可以按这个力学量的本征态展开，其展开系数为此力学量取值为该本征态所对应的本征值的几率。任意一个态函数在Hiberlt空间中相当于一个多位形空间矢量，而一个力学量的一组本征态相当于Hiberlt空间中的一组“坐标轴”，任意一个态函数在此坐标轴上的投影即称之为该态函数在此力学量的表象中的表示。以上概念一般量子力学书上都有，要好好体会。
2.后面一个式子是量子力学内积符号的基本运算，内积符号前面的常数提出来要加上复共轭，后面的常数提出来不加，仅此而已。