Question

高中分式函数值域这么求？例y＝（1-x）╱（x+2）

Answer 1

令1/y = [(x+1)^2 + 1] / (x+1)
= (x+1) + 1/(x+1)
当(x+1)>0时 即x>-1时
(x+1) + 1/(x+1)>=2 当x=0时取等号.（x=-2不在讨论范围内）
此时 1/y >= 2 ； 0 < y <= 1/2;
当(x+1)<0时 即x<-1时
-(x+1) - 1/(x+1)>=2 当x=-2时取等号.（x=0不在讨论范围内）
此时 -1/y >= 2 ； -1/2 <= y < 0;
当x=-1时 y=0
故纵上述 y的值域为[-1/2,1/2]
求函数值域比较常用的方法：
一．观察法
通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域.
例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域.
点拨：根据算术平方根的性质,先求出√(2－3x) 的值域.
由算术平方根的性质,知√(2－3x)≥0,
故3+√(2－3x)≥3.
∴函数的知域为 .
点评：算术平方根具有双重非负性,即：（1）被开方数的非负性,（2）值的非负性.
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法.
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域.（答案：值域为：｛0,1,2,3,4,5｝）