Question

设函数f(x)=e^x-1-x-ax^2 若当x>=0时，f(x)>=0，求a的取值范围

设函数f(x)=e^x-1-x-ax^2 若当x>=0时，f(x)>=0，求a的取值范围

请详细解释
你们的答案都不对
热心网友的答案对了，但这个答案我已经看过，我想要的是一种更简捷的办法

Answer 1

易知
f(0)=0
f'(x)=e^x-1-2ax
f'(0)=0
f''(x)=e^x-2a
f''(0)=1-2a
当a<=1/2时
对任意的x>=0
f''(x)=e^x-2a>=1-1=0
所以f'(x)在定义域内为增函数
f'(x)>=f'(0)=0
所以f(x)为增函数，f(x)>=f(0)=0

为证明的严谨性，下面证明a>1/2 时存在x,使得f(x)小于0
当a>1/2时
存在0<x0<ln2a ,f''(x0)<0
所以f‘(x)在[0,x0]为减函数，所以 对任意的x∈[0,x0],f'(x)<f'(0)=0
所以f(x)在[0,x0]为减函数， 存在x∈[0,x0],f(x)<f(0)=0
故对a>1/2时原命题不成立。

所以a<=1/2

Answer 2

因为f(x)>=0，
所以e^x-1-x-ax^2>=0
分离常数a,得a<=(e^x-1-x)/(x^2)
即a小于等于(e^x-1-x)/(x^2)的最小值
所以令g(x)=(e^x-1-x)/(x^2) min
求导g‘(x)=。。。括号太多
化简得，e^x-3x-2e^x-2=0
解得x=0
所以a<=0

Answer 3

恩，画画图吧，先画e^x,再画ax^2+x+1,画法先设a>0.这样开口向上保证后面函数小于e^x，这样的图像不存在吧？a=0.也没有，a<0,开口向下又x=0时，一定过（0,1）点那么必须保证图像向左移动，这样a<0都适合

Answer 4

zz