Question

高一数列 急求

已知数列{an}前n项和Sn= -an-(1/2)的(n-1)次方+2
(1)令bn=2的n次方乘以an 求证{bn}等差数列
(2)求an
(3)令Cn=[(n+1)/n]乘an 求an前n项和Tn

Answer 1

（3）题应是求cn的和Tn

Answer 2

解：
(1)
a1=S1=-a1-(1/2)^(1-1)+2=-a1+1
2a1=1
a1=1/2
Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2
Sn-1=-a(n-1)-(1/2)^(n-2)+2
an=Sn-Sn-1=-an-(1/2)^(n-1)+a(n-1)+(1/2)^(n-2)
2an=a(n-1)-(1/2)^(n-2)
8an=4a(n-1)-1/2^n
8an+2/2^n=4a(n-1)+1/2^(n-1)
[4an+1/2^n]/[4a(n-1)+1/2^(n-1)]=1/2，为定值。
4a1+1/2^1=5/2
数列{4an+1/2^n}是以5/2为首项，1/2为公比的等比数列。
4an+1/2^n=(5/2)(1/2)^(n-1)
4an=4/2^n
an=1/2^n
bn=2^nan=1
数列{bn}是各项均为1的等差数列，首项为1，公差为0
(2)
数列{an}的通项公式为an=1/2^n
(3)
好像有问题，是求{cn}前n项和吧。
现在先求{an}前n项和，如果是求{cn}前n项和，告诉我。
Tn=1/2+1/2^2+...+1/2^n=(1/2)[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=1-1/2^n

Answer 3

Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2
S(n+1)=-a(n+1)-(1/2)^n+2
a(n+1)=S(n+1)-Sn
=-a(n+1)-(1/2)^n+2+an+(1/2)^(n-1)-2
=(1/2)^(n-1)-(1/2)^n+an-a(n+1)
=-(1/2)^(n-1)+an-a(n+1)
a(n+1)=-(1/2)^(n-1)+an-a(n+1)
2a(n+1)-an=-(1/2)^(n-1)
2a(n+1)-an=-2^(1-n)
两边同乘以2^n得：
2^(n+1)*a(n+1)-2^n*an=-2

∵S1=-a1-(1/2)^(1-1)+2=a1
∴a1=1/2
∴{2^n*an}是首项为2^1*a1=1，公差为-2的等差数列
∵bn=2^n*an
∴{bn}是首项为1，公差为-2的等差数列

∵2^n*an=1-2(n-1)=3-2n
∴an=(3-2n)/2^n

Answer 4

Sn= -an-(1/2)的(n-1)次方+2
a1=S1=-a1-1+2 a1=1/2
S(n-1)=-a(n-1)-1/2^(n-2)+2
an=Sn-S(n-1)=-an+a(n-1)+1/2^(n-1)
2an=a(n-1)+1/2^(n-1)
2^n*an-2^(n-1)*a(n-1)=1
数列{2^n*an}是首项为1/2，公差为1的等差数列
2^n*an=a1+(n-1)*1=n-1/2 (Ⅰ)
(1) bn=2^n*an=n-1/2 b1=1-1/2=1/2
bn-b(n-1)=n-1/2-(n-1)+1/2=1
{bn}是首项为1/2，公差为1的等差数列
(2) 由 (Ⅰ)式可得：an=(2n-1)/2^(n+1)
(3)cn=[(n+1)/n]*an=(2n-1)/2^(n+1)+(2n-1)/n*2^(n+1)
求cn的和，没办法
求an的和Tn=1/2^2+3/2^3+....+(2n-1)/2^(n+1)
2Tn=1/2+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^n
两式相减Tn=1/2+2/2^2+2/2^3+...+2/2^n-(2n-1)/2^(n+1)
=1/2+2{[(1/2^2)(1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)}-(2n-1)/2^(n+1)
=1/2+1-1/2^(n-1)-(2n-1)/2^(n+1)
=3/2-(2n+3)/2^(n+1)