Question

α，β∈(0,π)，tan(α/2)=1/2且sin(α+β)=5/13,求cosβ

α，β∈(0,π)，tan(α/2)=1/2且sin(α+β)=5/13,求cosβ

需要过程。谢谢。

Answer 1

tanα=2tan(α/2)/(1-(tan(α/2)^2))=2*1/2/(1-(1/2)^2)=4/3
即 sinα/cosα=4/3
α，β∈(0,π)
所以
sinα=4/5
cosα=3/5
tanα=4/3>1，所以 α>π/4
0<sin(α+β)=5/13<√2/2=sin(π/4)
而α>π/4所以 π>α+β>π/2
所以 cos(α+β)<0
cos(α+β)=-√(1-(5/13)^2)=-12/13

cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)*sinα
=-12/13*3/5+5/13*4/5
=(20-36)/65
=-16/65