Question

如图 将矩形abcd沿ef对折,点a与点c恰好重合,若ab=6cm bc=8cm 求证：

1 AFCE为菱形 2 求折痕EF的长 第一问我解出来了，第二问不会啊！！

Answer 1

AC^2=AB^2+BC^2=6*6+8*8=100
AC=10
OC=AO=AC/2=5
BF+CF=BC=8
AB^2+BF^2=OF^2+OA^2
OF^2+OC^2=CF^2

CF^2=AB^2+BF^2=6*6+(8-CF)^2
CF^2=36+64-16*CF+CF^2
CF=25/4
OF^2+OC^2=CF^2
OF^2=(25/4)^2-5*5=225/16
OF=15/4
EF=2*OF=15/2

追问

能在每段话上加上∵ ∴吗？

追答

∵AC^2=AB^2+BC^2=6*6+8*8=100
∴AC=10
∵OC=AO=AC/2
∴OC=5
∵三角形ABF是直角三角形
∴AB^2+BF^2=AF^2
∵三角形AOF是直角三角形
∴OF^2+OA^2=AF^2
∴AB^2+BF^2=OF^2+OA^2
∵三角形COF是直角三角形
∴OF^2+OC^2=CF^2
∴CF^2=AB^2+BF^2
∵BF+CF=8
∴CF^2=AB^2+(8-CF)^2=6*6+(8-CF)^2
∴CF^2=36+64-16*CF+CF^2
∴CF=25/4

∵OF^2+OC^2=CF^2
∴OF^2=(25/4)^2-5*5=225/16
∴OF=15/4
∵EF=2*OF
∴EF=15/2

Answer 2

∵AFCE为菱形
∴AC⊥FE，即AO⊥OE
∵∠OCF=∠BCA，∠COF=∠CBA=90°
∴△COF∽△CBA
∴FC/AC=OC/BC
易得AC=√(AB²+BC²)=10，OC=AC/2=5
设OF长为xcm，则EF=2x
∴FC=√(5²+x²)
∴√(5²+x²)/10=5/8
∴x=15/4
∴EF=2x=15/2cm

Answer 3

连接AE、CF，
由折叠可知，EF⊥AC，
又∵AF∥CE，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF与△COE中， ∠FAO=∠ECO∠AOF=∠COE=90°
FO=EO

，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC垂直平分EF，
∴AE=AF，
∴四边形AECF为菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
设AE=EC=x，则BE=8-x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC= AB 2
+BC 2

=10，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2=AE2，
即62+（8-x）2=x2，解得x=25
4
，
根据菱形计算面积的公式，得
EC×BA=1
2
×EF×AC，
即25
4
×6=1
2
×EF×10，
解得EF=15
2
cm