Question

已知α的平方+α-1=0,β的平方+β-1=0,且α≠β,求αβ+α+β的值

Answer 1

α^2+α-1=0 (1)
β^2+β-1=0 (2)

(1)-(2)
α^2+α-1- (β^2+β-1)=0
α^2+α-1-β^2-β+1=0
α^2-β^2+α-1-β+1=0
(α+β)(α-β)+(α-β)=0
(α-β)(α+β+1)=0
因为α≠β
所以α-β≠0
α+β+1=0
α+β=-1

(1)+(2)
α^2+α-1+β^2+β-2=0
α^2+β^2+α+β-2=0
α^2+β^2-1-2=0
α^2+β^2=3
α^2+2αβ+β^2-2αβ=3
(α+β)^2-2αβ=3
1-2αβ=3
2αβ=-2
αβ=-1

αβ+α+β=-1-1=-2

Answer 2

由于α，β是一元二次方程的两个根，又不相等，根据根与系数的关系得
αβ=-1
α+β=-1
αβ+α+β=-2