我们把从x_n到x_(n+1)称为“第n步”，如果|x_(n+1)|=|x_n|+1，那么称这第n步是“向上走的”，这时x_n>=0；否则，|x_(n+1)|=|x_n|-1，这时称这第n步是“向下走的”，这时x_n<=0。你可以画一个图像，横轴表示n，纵轴表示|x_n|（注意用纵轴表示绝对值，而不表示x_n，这样能看得更明白）。这时候从图上可以看出，所谓“某一步是向下走的”，就是指图像在这个点往右是往下降一格而不是往上升一格。这个图虽然表示的是x_n的绝对值，但是x_n的正负可以从这个图在这一点的走向看出来，如果往上走，那在这点就是正的，反之就是负的。
现在在图上我们可以看到一些走势像尖的东西。比如如果x_n中的连续某几项是2,3,4,-5,-4-3（然后后面那项的绝对值是2），那么在这个图像上这6项就是用红色的点所表示的。把这6项求和，得到-3，然后在把这6项从原来的数列里扔掉，得到一个新的数列（也就是把这部分的右端点接到左端点上）。图中的尖是朝上的，如果是朝下的（比如-5,-4,-3,2,3,4）也是类似的做法。这个做法要求这个“尖”中只有一个“顶点”。这个例子里，这个尖的长度是6（意思就是这是6项），和是-3（就是这6项的和）。对于有2n项的尖（形如m，m+1，……，m+n-1，-(m+n)，-(m+n-1)，……，-(m+1)的一列或者形如-(m+n)，-(m+n-1)，…，-(m+1)，m，m+1，…，m+n-1的一列），它的和（就是这些元素的和）是-n，通过不断地把这种序列的右端点接到左端点，可以消灭所有的尖，最后的图形就是一条直线而不带拐弯。
消灭了所有的“尖”以后，如果序列的长度减少了2n（从刚才的方法看，减少的必须是偶数），那么所去掉的2n个数的和是-n，剩下了2008-2n项，注意在消灭尖的时候不可能把原来序列中所有的点都去掉（因为那个“右端点”是不会被去掉的），所以至少剩下两项（注意2008-2n是偶数），那么剩下的这2008-2n项形成了一条直线，那么它要么一直往上走，要么一直往下走（如果一会往上一会往下，那么就会形成一个尖，但是我是考虑消灭所有的“尖”以后的情形），而如果一直往下走的话，不能走到下半平面，因为所画的是|x_n|的图像，而绝对值是非负的。总结起来，有两种可能：
(1、一直往下走)n=1003，2008-2n=2，并且剩下的两项，头一项的绝对值是1（因为是在去掉“尖”的过程中“接”过来的，所以绝对值是不能变的），后一项是0。这时候头一项必须是-1（其实即使是+1也不重要），因为从它往右是“往下走的”；被去掉的这2n项的和是-n，所以原来序列的和是-n-1=-1004。
(2、一直往上走)被去掉了2n项，剩下2m=2008-2n项，而所剩下的项形成一条一直往上走的直线，这时候第一项的绝对值仍然是1（因为在去掉“尖”的过程中，整个序列的第一项的绝对值是不变的），那么剩下的这些项是1，2，…，2m-1，(+/-)2m。前面2m-1项必须是正的，因为这个序列在往上走，最后一项可正可负。这时候原来序列的和是-n+1+2+……+(2m-1)+(+/-)(2m)，就是，-n+2m^2+m或者-n+2m^2-3m。现在2m+2n=2008，所以
-n+2m^2+m=2m^2+2m-1004；-n+2m^2-3m=2m^2-2m-1004，其中2<=m<=1004。
找以上两个函数的绝对值的最小值，不难发现当m=22时的第一个函数和当m=23时的第二个函数可以取到8，也就是说，在情形(2)下，整个序列的和最接近0的值是8。
总结两种情形，得到答案。如果这个过程有可以明显简化的地方，或者可以不需要用到这么麻烦而不严谨的直观，请楼下告知。
PS to 701198: 你的回答里第二行说x2008^2-x0^2=2(x1+...x2007)+2008，这不是差不多出来了么，怎么又没有得到正确答案。按你所说，((x_2008)^2-(x_1)^2+2(x_2008)-2007)/2就是x_1+...+x_2008的值，如果假设x_2008=a的话，那么这个和就是(a^2)/2 + a - 1004，然后最小化这个式子的绝对值，不就可以了么？不过，总之你的想法是很简洁。
但是答案上给的是8
如果考试遇上这种题，你连看都不用看，直接跳过就可以。这是应试技巧。我是山东的。应该有这个发言权
x2008^2-x0^2=2(x1+...x2007)+2008,
代入x0=1，两边各加2x2008 x0+x1+x2+...x2008=[(x2008+1)^2-2010]/2
x2008=44或-46,原式=7.5,不符要求
所以x=43或-44，原式=37
