Question

已知sinα=根号2cosβ，tanα=根号3cotβ 0<α<π/2,0<β<π/2 求sinα,sinβ的值.

已知sinα=根号2cosβ，tanα=根号3cotβ
0<α<π/2,0<β<π/2
求sinα,sinβ的值.

Answer 1

sinα=√2cosβ，一式；tanα=sinα/cosα=√3cotβ=√3cosβ/sinβ，二式；
一式÷二式得：cosα=√6sinβ/3，三式；
结合一式、三式得：sin²α+cos²α=（√2cosβ）²+（√6sinβ/3）²=2cos²β+2sin²β/3
=2（cos²β+sin²β）-4sin²β/3=2-4sin²β/3=1；4sin²β/3=1，sinβ=√3/2，cosβ=1/2；
sinβ=√2/2

Answer 2

由sinα=根号2cosβ，tanα=根号3cotβ 可知
cosα=2/3
因为0<α<π/2，即sinα>0
所以sinα=√5/9
可知cosβ=√5/18
又0<β<π/2，即sinβ>0
所以sinβ=√13/18