Question

函数最值问题

函数y=x^x
求当x>0时此函数的最小值
不对，在（0，1）中函数不是单调函数
绘制函数图象，就会发现在（0，1）中是先递减后递增的曲线
例如X取1/2时，Y=（根号2）/2，是小于1的
不对，在指数函数中，底数为常数，是个定值，所以函数是单调函数
而这个函数不同

可以讲一下是怎么求导的吗？

两位都不错，谢谢了

Answer 1

看来是我想的太简单了~~

令f(x)=x^x(x>0)，那么我们要求的就是f'(x)

f'(x)无法直接求出来
令g(x)=lnx
那么g(f(x))=ln(x^x)=xlnx
那么
(g(f(x)))'=g'(f(x))*g'(x)
且(g(f(x)))'=(xlnx)'
也就是说(xlnx)'=g'(f(x))*g'(x)

(g(f(x)))'=g'(f(x))*f'(x)
且(g(f(x)))'=(xlnx)'
也就是说(xlnx)'=g'(f(x))*f'(x)

左边，(xlnx)'=lnx+x/x=lnx+1
右边,g'(x)=1/x
那么右边=f'(x)/f(x)
也就是lnx+1=f'(x)/f(x)

所以f'(x)=f(x)*(lnx+1)=(lnx+1)*x^x

这样再看单调性就好了

Answer 2

y=x^x
ln(y)=ln(x^x)=xln(x)
(ln(y))'=(xln(x))'
y'/y = ln(x) + 1
y'=y(ln(x) + 1)=0
y=x^x 不可能为 0
ln(x) + 1=0
ln(x)=-1
x=e^(-1) = 0.3678794412
函数的最值 x^x = 0.6922006276
_______________________________
求导过程：
d[ln(y)]/dx=(1/y)(dy/dx)

d(xln(x))/dx
=(dx/dx)ln(x)+x[d(ln(x)/dx]
=ln(x)+x/x
=ln(x)+1