∫1/ ∫1/(x+³√x)dx
解(1)∫1/(x+³√x)dx
=∫1/(t³+t )x 3t²dt
=∫1/(t²+1) x 3tdt
=3/2∫1/(1+t²)d(1+t²)
= 3/2 ln(1+t²)+c 正确
解(2)∫1/(x+³√x)dx
=∫1/(t³+t )x 3t²dt
=∫1/(t²+1) x 3tdt
=3/2∫1/(1+t²)dt
= 3/2arctan(1+t²)+c 错误在哪里。 展开
令t=6√x
t^6=x
x'=6t^5
原式=∫[1/(t^3+t^2)x6t^5]dt
=∫[6t^2(t^3+t^2)-6t^3]/(t³+t²)dt
=∫[6t^2-6t-6(t³+t²)-6t^2/t³+t²]dt
=∫[6t^2-6t-6(t³+t²)-6-6/t+l]dt
=2t^3-3t^2-6t-6ln(t+1)+C
代入得:2√X-3³√X-6^6√X-6ln(^6√X+1)+C
分子降幂,降到比分母的最高次低,再约掉。
连续函数,一定存在定积分和不定积分;若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界,则定积分存在;若有跳跃、可去、无穷间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
扩展资料:
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn],其中x0=a,xn=b。可知各区间的长度依次是:△x1=x1-x0,在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi(1,2,...,n)。
设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I,G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。
由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数,所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。
定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值(曲边梯形的面积),而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-莱布尼茨公式),其它一点关系都没有!
参考资料来源:百度百科——不定积分
∫ 1/[1+x^(1/3)] dx
=∫ 3u²/(1+u) du
=3∫ (u²-1+1)/(1+u) du
=3∫ (u-1) du + 3∫ 1/(1+u) du
=(3/2)u² - 3u + 3ln|u+1| + C
=(3/2)x^(2/3) - 3x^(1/3) + 3ln|x^(1/3)+1| + C
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