Question

积分学第14题，如图

Answer 1

解：
设f(x)的一个原函数为F(x)，F'(x)=f(x)。设F(x)的一个原函数为G(x)，G'(x)=F(x)
∫[0：2x]xf(t)dt+2∫[x：0]tf(2t)dt
=x·F(t)|[0：2x]-½∫[0：2x]uf(u)du
=x[F(2x)-F(0)]-½∫[0：2x]ud[F(u)]
=x[F(2x)-F(0)]-½u·F(u)|[0：2x]+½∫[0：2x]F(u)du
=x[F(2x)-F(0)]-½[2x·F(2x)-0·F(0)]+½∫[0：2x]F(u)du
=x·F(2x)-F(0)·x-x·F(2x)+½∫[0：2x]F(u)du
=½∫[0：2x]F(u)du -F(0)·x
=½[G(2x)-G(0)]-F(0)·x
=½G(2x) -F(0)·x -½G(0)
½G(2x) -F(0)·x -½G(0)=2x³(x-1)=2x⁴-2x³
F(0)=0，G(0)=0
G(2x)=4x⁴-4x³=¼·(2x)⁴-½·(2x)³
G(x)=¼x⁴-½x³
F(x)=x³-(3/2)x²
f(x)=3x²-3x=3(x-½)²-¾
x=½时，f(x)有最小值f(x)min=-¾
令x=0，得f(x)=0-0=0
令x=2，得f(2)=3·2²-3·2=6
x=2时，f(x)有最大值f(x)max=6
综上，得：f(x)在[0，2]上的最小值为-¾，最大值为6。