Question

a、b、c都大于0，且a+b+c＝1。求(1/a)+(4/b)+(9/c)的极值。

一道高中数学题，求答案：
已知a、b、c都大于0，且a+b+c＝1。
求(1/a)+(4/b)+(9/c)的极值。

Answer 1

首先，一定没有最大值，因为，任何一个趋于 0 时，结果都是无限大。
问题变为求最小值。

把 a+b+c = 1 代入分子，得
(a+b+c)/a + 4(a+b+c)/b + 9(a+b+c)/c =
1 + 4 + 9 + (b/a + 4a/b) + (c/a + 9a/c) + (4c/b + 9b/c)

下面考虑后三项，首先看 b/a + 4a/b ，设 b/a = t,
t^2 - 4t + 4 = (t-2)^2 >= 0
t^2 + 4 >= 4t ,
t + 4/t >=4 , 所以，b/a + 4a/b >=4, 并且，当 b/a = 2 时，等号成立。
利用同样的配平方的原理，可知，
c/a + 9a/c >= 6 , c/a = 3 时，等号成立。
4c/b + 9b/c >= 12 , c/b = 3/2 时，等号成立。

并且，这三个等号成立的条件是可以同时达到的，此时，
a = 1/6
b = 2/6
c = 3/6

此时，可以取最小值，其他情况一定大于这时的值。

(1/a)+(4/b)+(9/c)的极小值 = 36

Answer 2

有极小值36，当且仅当a=1/6,b=1/3,c=1/2时取得。
(1/a)+(4/b)+(9/c)＝（1/a+4/b+9/c）×1＝（1/a+4/b+9/c）×（a+b+c）
＝1＋4a/b+9a/c+b/a+4+9b/c+c/a+4c/b+9=14+(4a/b+b/a)+(9a/c+c/a)+(9b/c+4c/b)>=14+2×根号4＋2×根号9＋2×根号（9×4）＝14＋4＋6＋12＝36,当且仅当4a/b＝b/a，9a/c＝c/a，9b/c＝4c/b时，等号成立(因为a、b、c都大于0，这里可以用基本不等式a+b>=2根号a×b)。解之得：b=2a,c=3a,3b=2c,将b=2a,c=3a代入a+b+c＝1得a=1/6,故而b=1/3,c=1/2
综上所述，原式有极小值36，当且仅当a=1/6,b=1/3,c=1/2时取得。