Question

一道八年级的关于勾股定理的数学题

如图,在Rt三角形ABC中,角C=90度,D是AB的中点,E、F分别在AC和BC上，且DE垂直DF，求证：以AE，EF，BF的长为三边的三角形是直角三角形。

Answer 1

过D点做DM垂直AC于M,做DN垂直BC于N,(我做的图为E在AC中点的下方,靠近C点,所以证明方法按这种图做的.如果E在AC中点的上方,证明方法同此相似)
可知DM=CN=BC/2,DN=CM=AC/2(因为MD和ND为直角三角形的中位线),且∠MDN为直角.
∠MDN=∠EDF=90
所以,∠MDE=∠NDF,
所以RT三角形MDE与RT三角形NDF相似.
设DM/DE=a,则DM/DE=DN/DF=a
DM=a*DE,DN=a*DF

EM^2=DE^2-DM^2=DE^2(1-a^2),
NF^2=DF^2-DN^2=DF^2(1-a^2)
AE^2=(AM+ME)^2
=AM^2+DE^2(1-a^2)+2*AM*DE*根号下(1-a^2)
=AM^2+DE^2(1-a^2)+2*a*DF*DE*根号下(1-a^2),(AM=DN=a*DF)
BF^2=(BN-FN)^2
=BN^2+DF^2(1-a^2)-2*BN*DF根号下(1-a^2)
=BN^2+DF^2(1-a^2)-2*a*DE*DF根号下(1-a^2),(BN=DM=a*DE)
AE^2+BF^2=AM^2+DE^2(1-a^2)+BN^2+DF^2(1-a^2)
=a^2*DF^2+DE^2-a^2*DE^2+a^2*DE^2+DF^2-a^2*DF^2,(AM=DN=a*DF,BN=DM=a*DE)
=DE^2+DF^2
=EF^2
所以为直角三角形,其中EF为斜边长.

不知你们学没学过三角函数,也可用三角函数来求.
DE=DM/cos∠MDN,DF=DN/cos∠NDF=DN/cos∠MDN
EM=MDtg∠MDN=BC/2*tg∠MDN,FN=DNtg∠MDN=AC/2*tg∠MDN

AE^2=(AC/2+ME)^2=(DN+MDtg∠MDN)^2=DN^2+2DN*MDtg∠MDN+MD^2*(tg∠MDN)^2
BF^2=(BC/2-NF)^2=(MD-DNtg∠MDN)^2=MD^2-2MD*DNtg∠MDN+DN^2*(tg∠MDN)^2
AE^2+BF^2=(DN^2+MD^2)[1+tg∠MDN)^2]
=(DN^2+MD^2)[(cos∠MDN)^2+(sin∠MDN)^2]/(cos∠MDN)^2
=(DM^2+DN^2)/(cos∠MDN)^2
EF^2=DE^2+DF^2=(DM/cos∠MDN)^2+(DN/cos∠MDN)^2
=(DM^2+DN^2)/(cos∠MDN)^2
所以,AE^2+BF^2=EF^2

Answer 2

好一个如图！！！！！

Answer 3

没错1楼的 好一个如图