Question

∫dx/[x^2√（2x-x^2）]=

Answer 1

解：分享一种解法。
∵2x-x^2=1-(1-x)^2，设x=1-sint，∴原式=-∫dt/(1-sint)^2。
而，∫dt/(1-sint)^2=∫sectd(sint)/(1-sint)^2=sect/(1-sint)-∫d(sect)/(1-sint)。
∫d(sect)/(1-sint)=∫(1+sint)(sect)^2d(sect)=(1/3)(1+sint)(sect)^3-(1/3)∫(sect)^2dt=(1/3)(1+sint)(sect)^3-(1/3)tant+C，
∴原式=-sect/(1-sint)+(1/3)(1+sint)(sect)^3-(1/3)tant+C。其中，sect=√(2x-x^2)，sint
=1-x。供参考。

追问

∫d（sect）/（1-sint）怎么来的？

追答

“凑”出来的。dt/(1-sint)^2=sectd(sint)/(1-sint)^2，再分部积分法啊。

追问

但我算的∫sectd（sint）/（1-sint）^2=sect/（1-sint）-∫（1-sint）d[sect/（1-sint）^2]和你做的不一样

得不出∫dsect/（1-sint）呀

追答

∫dt/(1-sint)^2=∫sectd(sint)/(1-sint)^2=∫sectd[1/(1-sint)]=sect/(1-sint)-∫d(sect)/(1-sint)。
再分子分母同乘以1-sint后，即可。供参考。

追问

为什么∫sectd（sint）/（1-sint）^2=∫sectd[1/（1-sint）]？原来的那个dsint呢？

追答

视“sint”为整体被“处理”了。“逆”看下过程“d[1/(1-sint)]=d(sint)/(1-sint)^2”，就明白了吧。
】

追问

明白了，非常感谢

追答

不客气。

Answer 2