Question

函数极值与单调性判断！

我就是把一阶求导后对的那个函数在区间单调性上的讨论没搞明白，为什么它把x分成了[0, 1/2]和（1/2，正无穷）？哪位大神能帮我指点迷津？谢谢！
我说的是这个导函数下面的x的区间是怎么来的？





Answer 1

()确定函数定义域,求导函数,判断其符号,可得在上的单调性;()分类讨论:当时,由()知无极值点;当时,利用导数的正负确定函数的单调性,从而可得函数的极值点. 解:由题设函数定义域是,(分)函数(分)()当时,式的,,又,(分)在上的单调递增.(分)()当时,由()知,在上的单调递增,故无极值点.(分)当时,由解得,此时当或时,当时,(分)当时,,时,,,,在上单减,在上单增,为极小值点,无极大值点.(分)当时,,当或时,时,在上单减,在和上单增,为极大值点,为极小值点.(分)综上,时,为极小值点,无极大值点;时,为极大值点,为极小值点;时,无极值点.(分) 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,解题的关键是正确求导,恰当分类,属于中档题.

追问

我的意思是它为什么它把x分成了[0, 1/2]和（1/2，正无穷）？来讨论导函数的符号？这俩区间是怎么求来的？我算了半天都不合适

Answer 2

用初等数学就可避免很多麻烦了!
y=√(x²+x+1)-√(x²-x+1)
=√[(x+1/2)²+(√3/2)²]-√[(1/2-x)²+(√3/2)²]
构造向量
m=(x+1/2，√3/2)，n=(1/2-x，√3/2)，
则m+n=(1，√3).
依向量模不等式|m|-|n|≤|m+n|，得
y≤√[1²+(√3)²]=2.
故所求最大值y|max=2。

追问

这道题考的是极值不是最值啊亲。另外我问的是那个判断导函数单调性的区间是怎么来的？

Answer 3

看两侧的导数是不是异号就行了

追问

我的意思是它为什么它把x分成了[0, 1/2]和（1/2，正无穷）？来讨论导函数的符号？这俩区间是怎么求来的？我算了半天都不合适