Question

第三题，求微分方程的通解，谢谢

Answer 1

分成y''+y=x和y''+y=e^x来做就行了
因为它们的齐次方程都是y''+y=0，通解是一样的
只要求出它们各自的非齐次的特解就行
(1)齐次方程y''+y=0
特征方程
r²+1=0
得r=±i
通解Y=C1 cosx + C2 sinx
(2)非齐次方程
1.y''+y=x
设y1*=ax+b
y1*'=a，y1*''=0
代入原方程
0+ax+b=x
得b=0，a=1
y1*=x
2.y''+y=e^x
设y2*=ae^x
y2*'=ae^x，y2*''=ae^x
代入原方程
ae^x+ae^x=e^x
得a=1/2
y2*=(1/2) e^x
综上，非齐次的通解为
y=Y+y1*+y2*
=C1 cosx + C2 sinx + x + (1/2) e^x

Answer 2