Question

m为何值时,关于x的方程1/x-1+m/x-2=2m+2/(x-1)(x+2)有增根,求m的值

Answer 1

解：1/x-1+m/x-2=2m+2/(x-1)(x+2)【原方程】
(x+2)(x-2)+m(x+2)(x-1)=(2m+2)(x-2) （方程等式两边同时乘以最简公分母(x+2)(x-2)(x-1)）
方程有増根，它可能为x=-2,x=2,x=1因为x为这些值时原方程的分母无意义。
假设增根x=-2时代入化简后的方程等式求得m=-1 ,但进一步考虑,当m=-1时原方程等式两边同时乘以公分母(x-2)(x-1)最后化简得3=0此方程无解。所以不存在増根x=-2。
假设增根x=2时代入化简后的方程等式求得m=0,进一步考虑当m=0时原方程等式两边同时乘以公分母(x+2)(x-1)最后化简求得x=0。所以不存在増根x=2。
假设增根x=1时代入化简后的方程等式求得m=1，进一步考虑当m=1时原方程等式两边同时乘以公分母(x+2)(x-2)最后化简求得x=0或1。所以存在増根x=1。
综上所述，只有当m=1时，方程1/x-1+m/x-2=2m+2/(x-1)(x+2)有增根。

Answer 2

解 ： 1/x-1+m/x-2=2m+2/(x-1)(x+2)
(x+2)(x-2)+m(x-1)(x+2)=(2m+2)x （方程等式两边同时乘以最简公分母(x-1)(x+2)(x-2)）
x^2-4+mx^2+mx-2m=2mx+2x
(1+m)x^2-(m+2)x-2m-4=0
又因为x的方程1/x-1+m/x-2=2m+2/(x-1)(x+2)有增根，所以最简公分母(x-1)(x+2)(x-2)=0，即x=1或-2或2
第一种可能，当x=1时，代入 (1+m)x^2-(m+2)x-2m-4=0，可得m=-5/2
第二种可能，当x=-2时，代入 (1+m)x^2-(m+2)x-2m-4=0，可得m=-1
第三种可能，当x=2时，代入 (1+m)x^2-(m+2)x-2m-4=0，可得m无解
综上所述，只有当m=-1或-5/2时，方程1/x-1+m/x-2=2m+2/(x-1)(x+2)有增根。