Question

对于任意实数a a不等于零和b, 不等式 |a+b|+|a-2b|大于等于|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立 求实数x取值范围

Answer 1

x-1|+|x-2|≤（|a+b|+|a-2b|）/|a|
当x≤1：去掉绝对之号解得3/2-（|a+b|+|a-2b|）/2|a|≤x≤1（1）
1<x<2：（|a+b|+|a-2b|）/|a|≤1
2≤x：2≤x≤3/2+（|a+b|+|a-2b|）/2|a|（2）
这里有个问题，就是怎么保证（1）（2）成立，就是怎么保证3/2-（|a+b|+|a-2b|）/2|a|≤1和2≤3/2+（|a+b|+|a-2b|）/2|a|，其实这是同一个问题，即保证：（|a+b|+|a-2b|）/|a|≤1成立，这个其实很简单，用几何意义易知|x-1|+|x-2|≥1，而由题设知|x-1|+|x-2|≤（|a+b|+|a-2b|）/|a|，则可得：（|a+b|+|a-2b|）/|a|≤1，所以不等式取值范围是
3/2-（|a+b|+|a-2b|）/2|a|≤x≤1或2≤x≤3/2+（|a+b|+|a-2b|）/2|a|

Answer 2

将等式化为：
|x-1|+|x-2|≤（|a+b|+|a-2b|）/|a|
然后分段讨论即可
x≤1：去掉绝对之号解得3/2-（|a+b|+|a-2b|）/2|a|≤x≤1（1）
1<x<2：（|a+b|+|a-2b|）/|a|≤1
2≤x：2≤x≤3/2+（|a+b|+|a-2b|）/2|a|（2）
这里有个问题，就是怎么保证（1）（2）成立，就是怎么保证3/2-（|a+b|+|a-2b|）/2|a|≤1和2≤3/2+（|a+b|+|a-2b|）/2|a|，其实这是同一个问题，即保证：（|a+b|+|a-2b|）/|a|≤1成立，这个其实很简单，用几何意义易知|x-1|+|x-2|≥1，而由题设知|x-1|+|x-2|≤（|a+b|+|a-2b|）/|a|，则可得：（|a+b|+|a-2b|）/|a|≤1，所以不等式取值范围是
3/2-（|a+b|+|a-2b|）/2|a|≤x≤1或2≤x≤3/2+（|a+b|+|a-2b|）/2|a|

Answer 3

设f(a,b)=[｜a+2b｜+｜a-b｜]/|a|,
a>0时f(a,b)={3b/a,b>=a;
{2+b/a,-a/2<b<a;
{-3b/a,b<=-a/2.
f(a,b)|min=3/2.
a<0时f(a,b)={-3b/a,b>=-a/2;
{2+b/a,a<b<-a/2;
{3b/a,b<=a.
f(a,b)|min=3/2.
综上，｜x-1｜+｜x-2｜<=3/2,
｜x-1｜+｜x-2｜={2x-3,x>=2;
{1,1<x<2;
{3-2x,x<=1.
由x>=2,2x-3<=3/2得2<=x<=9/4;
由x<=1,3-2x<=3/2得3/4<=x<=1.
综上，3/4<=x<=9/4.