Question

如图，○O是O为圆心，半径为根号5的圆，直线y=kx+b交坐标轴于A,B两点。

如图，○O是O为圆心，半径为根号5的圆，直线y=kx+b交坐标轴于A,B两点。
（1)①求k
②若b=4，点P为直线AB上一点，过P点作○O的两条切线，切点分别交C,D，若角CPD=90°，求点P的坐标。
（2）若k=-1/2，且直线y=kx+b分○O的圆周为1:2两部分，求b

Answer 1

解：（1）①由OA=OB，设A点坐标（a，0），则点B的坐标（0，a），
把这两点代入直线的解析式y=kx+b得：

ak+b＝0
b＝a

，
解得：k=-1．
②由题意得，Rt△POC≌Rt△POD，
∴∠CPO=∠DPO=
1
2
∠CPD=45°，OP=
2
OC=
2
R=
10
，
又∵直线的函数解析式y=-x+4，
故设P点坐标（x，-x+4）
OP=
x2+(−x+4)2
=
10
，解得：x=1或3
∴P（1，3）或（3，1）
（2）由题意得，当直线被切割的弦所对的圆周角为120°时，
弦长为2Rsin60°=
3
R时，弦分圆周为1：2，符合题意，
联立直线和圆的方程得，

y＝−
1
2
x+b ①

x2+y2＝5 ②

将①代入②消去y得x2+（-
1
2
x+b）2=5，即
5
4
x2-bx+b2-5=0
利用根与系数的关系可得（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=
16
25
b2-
16
5
b2+16=-
64
25
b2+16，
将①代入②消去x得 （2b-2y）2+y2=5，即5y2-8by+4b2-5=0
利用根与系数的关系可得（y1-y2）2=（y1+y2）2-4y1y2=
16
25
b2-
16
5
b2+16=-
64
25
b2+16，
将解得的两交点坐标用两点间距离公式得
(x1−x2)2+(y1−y2)2
=
3
R
解得：b=±
5
4
．

Answer 2

各个