Question

老师给我们布置3道很难的 数学几何题 数学天才进

第一题 求证 三角形的三个角平分线交与一点 （5分)
第二题 求证若三角形的两个角的角平分线（点到边的距离）相等 那么这个三角形是等腰三角形（5分）
第三题 任意的一个锐角三角形 每个角的三等分角平分线相交的三个点连成的三条线段 所成的三角形是等边三角形（5分）
4什么叫四点共圆（5分）
我的语言组织不是很好 希望你能理解 每答对一题等5分 至少答对一题
第二个问题 那个连接BF是什么意思 不是在同一直线上吗 还有第一次全等是怎么回事 给张图行吗

Answer 1

(1)三角形ABC，角A，B的平分线交于P，过P做AB，BC，AC垂线垂足分别为D，E，F

△AFP≌△ADP，△BDP≌△BEP

所以：PD=PF=PE

因为：PE⊥BC，PF⊥AC，PC公用

所以：△CEP≌△CFP

所以：CP为角C平分线

所以：三角形三个内角的平分线交于一点

(2)作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC (E,F在AB的两侧），连接BF. 

∵BE=DC 

∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF 

设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β 

∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β); 

∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β); 

∴∠FBC=∠CEF 

∵2α+2β<180°,∴α+β<90° 

∴∠FBC=∠CEF>90° 

∴过C点作FB的垂线CG和过F点作CE的垂线FH必都在FB和CE的延长线上. 

设垂足分别为G、H; 

∠HEF=∠CBG; 

∵BC=EF, 

∴Rt△CGB≌Rt△FHE 

∴CG=FH,BG=HE 

连接CF 

∵CF=FC,FH=CG 

∴Rt△CGF≌△FHC 

∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD 

所以三角形BCD全等BCE 

角ABC=角ACB 

所以AB=AC 

(4)如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

四点共圆有三个性质： 

（1）同弧所对的圆周角相等

 （2）圆内接四边形的对角互补

 （3）圆内接四边形的外角等于内对角 以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。

Answer 2

1. 设三角形ABC中,
角A角B的平分线相交于点O, 连接OC,
那么只要证明OC是角C的平分线即可.
过O做BC垂线交BC于D, 过O做AC垂线交AB于E, 过O做AB垂线交AB于F,
由于OA是角A平分线, OE=OF
由于OB是角B平分先, OD=OF
从而 OD = OE, 又因为 ODC = OEC = 90度
三角形ODC和三角形OEC全等, 所以 角OCD=角OCE
OC是角C平分线. 得证
2.

Answer 3

1.先作三角形ABC内∠A 、∠B角分线得到交点M，再连接CM
若证出CM也是∠C的角分线即可
根据角分线上的点到交两边的距离相等
BM是∠B角分线，所以M到AB距离ME等于M到BC距离MF
AM是∠A角分线，所以M到AB距离ME等于M到AC距离MG
ME=MF=MG
根据到角两边距离相等的点必在该角角分线上可以得出：
CM是∠C的角分线
所以M是三角形ABC的三条角分线的交点
即证出：三角形的三条角平分线相交与一点
2.作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF
设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CEF
∵2α+2β<180°,∴α+β<90°
∴∠FBC=∠CEF>90°
∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.
设垂足分别为G、H;
∠HEF=∠CBG;
∵BC=EF,
∴Rt△CGB≌Rt△FHE
∴CG=FH,BC=HE
连接CF
∵CF=FC,FH=CG
∴Rt△CGF≌△FHC
∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD
∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
3.画一下图，我也不会
4.如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。四点共圆有三个性质： （1）同弧所对的圆周角相等 （2）圆内接四边形的对角互补 （3）圆内接四边形的外角等于内对角 以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
（具体百科一下）

Answer 4

好斗 都要打太多字了 实在不想打了

- -说下4点共圆吧 就是4个点都在同一个圆的圆周上