Question

高中数学：关于函数值域的问题

设f（x）= （1+ a＾x）／（1- a＾x）
a＞0且a不等于1

请问，f（x）的值域为什么不能取【－1,1】，而其它区间都能取？

Answer 1

f(x)=(1+a^x)/(1-a^x)=2/(1-a^x)-1。
其中，由于a>0且a≠1，故a^x为指数函数，但由于(1-a^x)处于分母位置，故a^x>0且a^x≠1。
下面递推。
因为a^x>0且a^x≠1，
所以-a^x<0且-a^x≠-1，
所以1-a^x<1且1-a^x≠0，
所以1/(1-a^x)<0或1/(1-a^x)>1，
所以2/(1-a^x)<0或2/(1-a^x)>2，
所以f(x)<-1或f(x)>1。
问题得解。

Answer 2

设f（x）= （1+ a＾x）／（1- a＾x），a＞0且a不等于1
请问，f（x）的值域为什么不能取【－1,1】，而其它区间都能取？
解析：f(x)=(1+ a^x)/(1-a^x)
∵a^x>0==>(1+ a^x)>0
当>0时, (1- a^x)<0
函数f(x)在定义域内单调增
当x→-∞时，函数f(x)=(1+ a^x)/(1-a^x)趋势向1，即函数f(x)的极限为1
当x→+∞时，函数f(x)=(1+ a^x)/(1-a^x)趋势向-1，即函数f(x)的极限为-1
∴函数f(x)值班域为(-∞,-1) U (1,+∞)

Answer 3

设 y=f(x)
则函数y的定义域为x≠0，即x的定义域为（-∞，0）和（0，+∞）。在定义域范围内，原式等价变换为：
y(1-a^x)=1+a^x
即
a^x=(y-1)/(y+1)>0
由此，得出a^x的关于y的定义域（即值域）为：
(-∞,-1)及（1,+∞）
即f(x)的值域为 (-∞,-1)及（1,+∞）。即除[-1,1]外，函数f(x)均有值。

Answer 4

f(x)=(1+a^x)/(1-a^x) a>0 and a≠1
求 f(x)∈（-∞，-1）or（1，+∞）
解：
y=(1+a^x)/(1-a^x)
=1 + 2a^x/(1-a^x)
设a^x= z
<==>y=1+2z/(1-z)
<==>z=(y-1)/(1+y)
即a^x=(y-1)/(1+y)
对上列式子两边同时去对数
x=㏒a[(y-1)/(1+y)] (log以a为底(y-1)/(1+y)的对数)
所以：f(x)=(1+a^x)/(1-a^x) a>0 and a≠1的反函数为
g(x)=㏒a[(x-1)/(1+x)] (log以a为底(y-1)/(1+y)的对数)
根据对数的性质可知道
(x-1)/(1+x)>0，a>1 and a≠1
解得：x∈（-∞，-1）or（1，+∞）
根据原函数和反函数的性质可知道
x=f(x)∈（-∞，-1）or（1，+∞）
故
f(x)=(1+a^x)/(1-a^x) a>0 and a≠1
的值域为（-∞，-1）or（1，+∞）
（即：f（x）的值域不能取【－1,1】，其它区间都能取）
希望给个最佳答案！

Answer 5

设a的x次方等于A，则A的取值范围为大于0且不等于1，f（x）=（1+A）/(1-A)=1+2A/(1-A)=1+2/(1/A-1)当A大于1时，A越大f（x）越大得f（x）小于-1，当A小于1大于0时，A越大，f（x）越大得f（x）大于1