Question

三重积分计算的问题

请问计算三重积分时，若不画图怎么根据已知的代数式子求出各个变量的范围，如这道题I=∫∫∫{Ω}f(x,y,z)dv,积分区域为由曲面z=xy,y=x,x=1,z=0所围成的空间闭区域？

详细说明下，谢谢~~

Answer 1

y=x，x=1和z=0分别表示3个平面边界，由此可知在x-y平面，可确定x、y的范围。x∈（0,1），y∈（0，x）。这个你画图便知。其实可以不画图在心里面想出图形。我就是这样确定的。还有就是不用一下子画出整个3维图出来，这样反而不好确定范围。分到某个平面去更直观。如本例只画x-y平面就很有帮助~~z的范围可由z=xy，z=0确定。即z∈（0，xy）。

Answer 2

咋都得稍微画下图，不用画立体的，画个平面的就行。比如让你先求y的你就画在xoz面上的投影。明白各面的位置关系主要。如z=x^2+y^2,y=x^2,y=1,z=0
第一个式子表示：
先看横截面，在z=a时，是个半径为根号a的圆，在xoy面上是一个个圆，
侧面看在xoz或yoz面投影，可令y=0或x=0可知是抛物面
由此可知本曲面为一个旋转抛物面，构成的是封闭区域的上表面
第二个式子：很明显是个柱面，横截面是抛物线。构成左表面，
第三个式子构成的的是右表面
第四个式子构成底面。
这样就将封闭区域弄明白了。主要是上下左右前后各个表面弄明白是由谁构成。会投影，交线不用求那么精确。如此抛物柱面与旋转抛物面的交线就很复杂但透影到xoy面上只不过是一条抛物线(包括右侧部分）。转为3次积分如下：
∫{-1，1}dx∫{x^2，1}dy∫{0，x^2+y^2}f(x,y,z)dz
∫{0，1}dx∫{0，1}dy∫{0，x^2+y^2}f(x,y,z)dz
可知上表面是z=x^2+y^2,下表面是z=0
在xoy面投影为正方形
因此此封闭区域的上表面和左表面为z=x^2+y^2其余都是平面
现在做交换积分次序，先积y，那么就做垂直xoz的“穿入穿出”直线，穿入面为y=根号（z-x^2)，穿出面为y=1，所以从根号（z-x^2)积到1
然后画xoz面上投影，同样做“穿入穿出”直线确定积分区域，结果为
∫{0，1}dx∫{0,x^2}dz∫{根号（z-x^2)，1}f(x,y,z)dy
谢谢，那我再补充点，现在一般非数学专业的三重积分，积分区域不会太复杂，多为柱体。那么先需要确定的就是侧面和顶面底面（大多母线与z轴平行，也就是要求你先对z积分，从下表面积到上表面）。
柱侧面方程比较好认，缺少某字母的都是柱面方程。如题中的y=x^2就少了z，就是于z轴平行的抛物柱面。先确定比较简单的曲面，再来看复杂的面，看他是构成了哪个面，一般缺哪个面就是补哪面。
如果还有什么不清楚，举些例子我再给你讲
上面说的也不太准，第一式构成了上表面和部分左表面，第二式是，前后面和部分坐面。
你可以这么看，先不看最复杂的第一式，其他几个组合可以很清楚知道围成了个不带盖的桶（在平面直角坐标系xoy上画：左前后为y=x^2，右为y=1，下为z=0）然后再加入第一式封顶，由于一二两式交线复杂，不用理会，因为你先对z积分，从0到x^2+y^2，然后看xoy面投影即可，只与柱侧面有关，与上下底无关。
你先对y积分，你画出在xoz投影，z=x^2+y^2的投影令y=0，投影为z=x^2，你作穿入穿出线，不是从z=0穿入从z=x^2穿出的吗？所以是从0到x^2。然后对x积分在x轴投影，从0，1