Question

一道高中数学题（数学归纳法）

Answer 1

证明：
由题知
a[2]=f(a[1])=4²/(8-2)=8/3<3命题成立
当n=k≥3,k∈N+时,假设有2<a[k]<3
则n=k+1时
a[k+1]=f(a[k])=a²[k]/[2(a[k]-1)]
又f(x)=x²/[2(x-1)],x≠1
f'(x)=(1/2)x(x-2)/(x-1)²
当1<x<2,f'(x)<0,f(x)单调减少
当2<x<3,f'(x)>0,f(x)单调增加
知f(x)在x=2处取得极小值，且该极小值必为最小值
那么2=f(2)<f(x)<f(3),x∈(2,3)
即有2<f(a[k])<f(3)=8/3<3
即当n=k+1,k∈N+时仍有2<a[k+1]<3
因此,对于n>1,n∈n+总有2<a[n]<3.
显然a[n]<3命题得证.