Question

第二问，详细过程，谢谢

Answer 1

证明：
①f'(x)=e^x-m/x(x>0)
f''(x)=e^x+m/(x²)>0，∴f'(x)在（0，+∞）上递增
当x无限趋近于0时，f'(x)<0，当x趋近于+∞时，f'(x)>0，∴f'(x)在（0，+∞）上有唯一零点
∵f'(m/e)=e^(m/e)-e，而m/e<1，∴f'(m/e)<0
∵f'(1)=e-m>0，且f'(x)单调递增
∴f'(x)在（e/m,1）上必有一零点，故f(x)在（e/m,1）上有一极小值
②设此零点为x'，则0<x'<1
由①可知，零点x'满足f'(x')=0，即e^x'=m/x'……（1）
∴只需证f(x')=e^x'-x'e^x'lnx'>m=x'e^x'
化简得x'lnx'+x'-1<0(0<x'<1)
令t=x'，令g(t)=tlnt+t-1(0<t<1)
则g'(t)=lnt+2，令g'(t)>0得t>e^-2，令g'(t)<0得0<t<e^-2
∴g(t)在（0，e^-2）上递减，在（e^-2,+∞）上递增
当t趋近于0时，g(t)趋近于-1<0
当t趋近于1时，g(t)<g(1)=0
∴当t属于（0,1）时,g(t)<0，而x'=t属于(0,1)区间，故原命题得证，即极小值必大于m