Question

请教函数不动点问题

方程f(x)=x的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)=x/[a(x+2)]有唯一不动点，且X1=1000，Xn+1=1/f(1/Xn)，(n∈N*），则X2005=？

Answer 1

将f(x)=x/[a(x+2)]=x，由于X唯一，所以把等式右边移至左边
相当于x/[a(x+2)]-x=0，此方程的解唯一，通分，则可以得出a=1/2
代入Xn+1=1/f(1/Xn)，则可以得到Xn+1=Xn+1/2，为等差数列
所以X2005=1000+2004/2=2002

Answer 2

f(x1)=x1/a(x1+2)=x1有唯一不动点
所以：a=1/(x1+2)=1/1002
f(xn)=xn/[a(xn+2)]
f(1/xn)=(1/xn)/[a(1/xn+2)]=1/a(1+2xn)
x(n+1)=1/f(1/xn)=a(1+2xn)=(1+2xn)/1002
1002x(n+1)=2xn+1
设：1002[x(n+1)+k]=2[xn+k]
k=-1/1000
x(n+1)-1/1000=2[xn-1/1000]/1002
所以xn-1/1000是首项为1000-1/1000，公比为2/1002的等比数列
x2005-1/1000=(1000-1/1000)*(2/1002)^2004
x2005=1/1000+999/1000/551^2004