Question

数学分析，关于一致收敛性的证明题

谁能帮我讲解一下这道题，一：这是用什么办法判断的一致收敛。二：其中步骤的含义，我已经用红线画出来了，方便您讲解。三：我只需要看到这道题有思路，会做就行，帮我讲解一下，谢谢

Answer 1

先不要看❶和❷那是后知后觉。
根据一致收敛的定义，即证对于∀x∈[0,a]，∃n>N(epsilon)，当n>N(epsilon)时，|s_n(x)-s(x)|<epsilon。
|s_n(x)-s(x)|=|(1+x/n)^n-exp(x)|=exp(x)|exp(-x)(1+x/n)^n-1|
根据❶和❷，可得exp(-x)(1+x/n)^n在[0,a]上单调递减
∴1>=exp(-x)(1+x/n)^n>=exp(-a)(1+a/n)^n>0
=exp(x)(1-exp(-x)(1+x/n)^n)
<=exp(a)(1-exp(-a)(1+a/n)^n)⇨⇨⇨⇨⇨关键是在此能得到与x无关的量，即∀x∈[0,a]
∵limexp(a)(1-exp(-a)(1+a/n)^n)=0
∴∃n>N(epsilon)，当n>N(epsilon)时，exp(a)(1-exp(-a)(1+a/n)^n)<epsilon。
∴对于∀x∈[0,a]，∃n>N(epsilon)，当n>N(epsilon)时，|s_n(x)-s(x)|<epsilon
∴在[0,a]上一致收敛。

追问

|s_n(x)-s(x)|=|(1+x/n)^n-exp(x)|=exp(x)|exp(-x)(1+x/n)^n-1|
其中的p（x）原式中也没有啊？原式s（x）=e^x

追答

exp(x)就是e的x次方，也就是e^x的意思！