Question

级数∑(ln n /n^p)) 的敛散性 用比较判别法证明？请帮忙

Answer 1

比较法p>1时

lim(n→∞)(lnn/n^p)/(1/n^(1+(p-1)/2))

=lim(n→∞)lnn/n^(p-1)/2

=lim(n→∞) [(1/n)/(p-1)/2*n^[(p-1)/2-1]]

=lim(n→∞) [1/(p-1)/2*n^(p-1)/2]

=0

而1/n^(1+(p-1)/2)是级数收敛的

所以(lnn/n^p收敛

p<=1时

lim(n→∞) lnn/n^p/(1/n)

=lim(n→∞) lnn*n^(1-p)=∞

而1/n级数发散，所以 lnn/n^p发散

所以综上p>1，∑(ln n /n^p)收敛p<=1，∑(ln n /n^p)发散

条件收敛

一般的级数u1+u2+...+un+...

它的各项为任意级数。

如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛，

则称级数Σun绝对收敛。

如果级数Σun收敛，

而Σ∣un∣发散，

则称级数Σun条件收敛。

Answer 2

简单计算一下即可，打算如图所示

Answer 3

比较法p>1时
lim(n→∞)(lnn/n^p)/(1/n^(1+(p-1)/2))
=lim(n→∞)lnn/n^(p-1)/2
=lim(n→∞) [(1/n)/(p-1)/2*n^[(p-1)/2-1]]
=lim(n→∞) [1/(p-1)/2*n^(p-1)/2]
=0
而1/n^(1+(p-1)/2)是级数收敛的
所以(lnn/n^p收敛
p<=1时
lim(n→∞) lnn/n^p/(1/n)
=lim(n→∞) lnn*n^(1-p)=∞
而1/n级数发散，所以 lnn/n^p发散
所以综上p>1，∑(ln n /n^p)收敛p<=1，∑(ln n /n^p)发散

Answer 4

利用恒等式：
1
=
(n+1)
-
n
=
(√(n+1)
+
√n)(√(n+1)
-
√n)，
级数的通项可以写成
1/(√(n+1)
+
√n)n^p，而当n->无穷时，这与
1/n^{p+1/2}是同阶的，这又是正项级数，所以收敛性与∑1/n^{p+1/2}相同（比较判别法）
又∵∑1/n^{p+1/2}收敛当且仅当p+1/2
>
1，即p>1/2
∴p>1/2时级数收敛，否则发散