微分方程高等数学。
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第一题：
∵xy′＝y（lny－lnx），∴y′＝（y/x）ln（y/x）。
令y/x＝u，则：y＝xu，∴y′＝u＋xu′＝ulnu，∴xu′＝ulnu－u，
∴［1/（ulnu－u）］du＝（1/x）dx，
∴lnx＝∫［1/（ulnu－u）］du＝∫［1/（lnu－1）］d（lnu－1）＝ln（lnu－1）＋lnC，
∴x＝C（lnu－1）＝Cln（y/x－1）。
∴原微分方程的通解是：x＝Cln（y/x－1）。
－－－－－－
第二题：
∵（x^2＋y^2）dx－xydy＝0，∴dy/dx＝x/y＋y/x。
令y/x＝u，则：y＝xu，∴dy/dx＝u＋xdu/dx＝u＋1/u，∴xdu＝（1/u）dx，∴udu＝（1/x）dx，
∴（1/2）u＝lnx＋C，∴y/（2x）＝lnx＋C，∴y＝2xlnx＋Cx。
∴原微分方程的通解是：y＝2xlnx＋Cx。
∵xy′＝y（lny－lnx），∴y′＝（y/x）ln（y/x）。
令y/x＝u，则：y＝xu，∴y′＝u＋xu′＝ulnu，∴xu′＝ulnu－u，
∴［1/（ulnu－u）］du＝（1/x）dx，
∴lnx＝∫［1/（ulnu－u）］du＝∫［1/（lnu－1）］d（lnu－1）＝ln（lnu－1）＋lnC，
∴x＝C（lnu－1）＝Cln（y/x－1）。
∴原微分方程的通解是：x＝Cln（y/x－1）。
－－－－－－
第二题：
∵（x^2＋y^2）dx－xydy＝0，∴dy/dx＝x/y＋y/x。
令y/x＝u，则：y＝xu，∴dy/dx＝u＋xdu/dx＝u＋1/u，∴xdu＝（1/u）dx，∴udu＝（1/x）dx，
∴（1/2）u＝lnx＋C，∴y/（2x）＝lnx＋C，∴y＝2xlnx＋Cx。
∴原微分方程的通解是：y＝2xlnx＋Cx。
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