Question

求做此题，感谢大佬

Answer 1

∠ADB+∠ADC=180°，所以cos∠ADB=cos∠ADC，
根据余弦定理，(BD²+AD²-AB²)/(2AD×BD)=(CD²+AD²-AC²)/(2AD×CD)，
(u²+8²-13²)/(2×8u)=(v²+8²-7²)/(2×8v)，
u-105/u=v+15/v>0，
因为u和v都是正整数，所以u整除105且大于√105，v整除15，
且根据三角形三边规律，13-8<u<13+8，8-7<u<8+7，13-7<u+v<13+7，
得到u=15，v=5，
所以(u,v)=(15,5)

Answer 2

由余弦定理，(64+u^2-169)/(16u)+(64+v^2-49)/(16v)=0,
所以u-105/u+15/v+v=0,
所以uv(u+v)=15(7v-u),(1)
易知u>13-8=5,,
所以u=7时(1)变为v(7+v)=15(v-1),
v^2-8v+15=0,
解得v=3或5,
所以(u,v)=(7,3)或(7,5)。为所求。

Answer 3

不对啊，如果u=15,v=5,那么u+v即BD+CD即BC=20,而在三角形ABC中13-7<BC<13+7=20,存在矛盾，所以该解有错。

Answer 4

∠ADB+∠ADC=180°，所以cos∠ADB=cos∠ADC，
根据余弦定理，(BD²+AD²-AB²)/(2AD×BD)=(CD²+AD²-AC²)/(2AD×CD)，
(u²+8²-13²)/(2×8u)=(v²+8²-7²)/(2×8v)，
u-105/u=v+15/v>0，
因为u和v都是正整数，所以u整除105且大于√105，v整除15，
u∈{15,21,35,105}，v∈{1,3,5,15}，
试验得到(u,v)∈{(15,3),(15,5),(21,1),(21,15)}