求大神解微分方程
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系科仪器
2024-08-02 广告
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求微分方程 (1+y²)dx=(2xy+y²+1)dy的通解。
解： (1+y²)dx-(2xy+y²+1)dy的=0
P=1+y²，∂P/∂y=2y；
Q=-(2xy+y²+1)，∂Q/∂x=-2y；
H(y)=(1/P)[(∂P/∂y)-(∂Q/∂x)]=[1/(1+y²)](2y+2y)=4y/(1+y²)是y的函数，因此有积分因子μ:
用此积分因子乘原方程的两边得：[1/(1+y²)]dx-(2xy+y²+1)/(1+y²)²]dy=0...........①
此时∂P/∂y=∂Q/∂x=-2y/(1+y²)²，故①是全微分方程，其通解为：
即原方程的隐式通解为：[x/(1+y²)-arctany=C;
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