Question

利用函数的单调性证明不等式的步骤如Sinx<x,x在区间0道180

Answer 1

首先 f(x)=sinx 在 [0,π/2]递增 g(x)=x 在[0,π/2]也增

有f(0)=0=g(0) 接下在 只要 重点证 两函数增的速率 即 比较斜率

f'(x) = cosx 在 [0,π/2] 恒有 0<= cosx <=1
g'(x)= 1 在 [0,π/2]

那么 显然 g(x)增的快 所以 在 [0,π/2] 上 x>=sinx

又在 [π/2 , π ]上 f(x) 递减 而 g(x)继续增 所以 继续 g(x)>f(x) 即 x>sinx

综上 在[0,π/2] 上 x>=sinx

追问

0到,π是减函数吗

Answer 2

设f(x)=sinx-x，则f'(x)=cosx-1≤0，故f(x)单调递减，即sinx<x。