Question

数学概率题，高手帮帮忙，谢谢

有甲等五个人,他们之间进行传球游戏,甲等可能的把球传给其它的四个人,然后又等可能把球传出去，问第n次球在甲在甲手上的概率为多少？
他说先求出第n次的概率与前面概率的递推公式，从而去算第n次的概率

Answer 1

假设第n次在甲手上的概率为P(n)。
如果使球第n次时在甲的手上，那么第n-1次时球必然不在甲手上，而是在其他人手中，并且在下一次传球时传给甲。
这个人传球给甲的概率是1/4，故
P(n) = ( 1 - P(n-1) ) * 1/4 = 1/4 - P(n-1)/4 (n>1)
n=1时的值是：
P(1) = 1/5

所以P(n) = 1/4 - P(n-1)/4
= 1/4 - 1/4^2 + P(n-2)/4^2
= ...
= 1/4 - 1/4^2 + 1/4^3 -... - (-1/4)^(n-1) + P(1)/4^(n-1)
= 1/4 - 1/4^2 + ... - (-1/4)^(n-1) - 1/(5*4^(n-1))
= 1/4 * (1+1/4^(n-1)) / (1+1/4) - 1/(5*4^(n-1))
= (1 + 1/4^(n-1))/5 - 1/(5 * 4^(n-1))
= 1/5

用数学归纳法证明，
(1)
n=1的时候，球在5个人手里的概率相等，都是1/5，所以P(1) = 1/5
(2)
假设n=k时P(k)=1/5, 其中k>=1。
那么球此时在甲手里的话，下一轮传球将肯定不会在甲手中，
球如果此时不在甲手里，下一轮持球人传给甲的概率是1/4。
因此P(k+1) = P(k)×0 + (1-P(k)) * 1/4 = (1-1/5)*(1/4) = 1/5。

综上，P(n) = 1/5成立。

Answer 2

如果是甲乙丙丁戊5个人，因为是等可能事件，那么第N次球在每个人手上的概率都是1/5的可能

Answer 3

解：前面概率依次是 0，1/4，3/16，。。。
设第n-1次概率为p<n-1>，则p<n>=(1-p<n-1>)/4
p<n>-1/5=-(p<n-1>-1/5)/4
(p<n>-1/5)/(p<n-1>-1/5)=-1/4

设bn=p<n>-1/5 为公比-1/4的等比数列，b1=-1/5
p<n>-1/5=(-1/5) *(-1/4)^(n-1)
p<n>=(1+4*(-4)^(-n) )/5
这个概率极限是1/5，指数方式趋于1/5