Question

3道简单的高等数学题目，完成再追加加分数。

1.计算∫ |lnx| ／x^2dx 其中x = 1/e→ +∞
参考答案： 2

2.求微分方程dy/dx = (y/x)^2 -y/x 满足条件y(1)=1的特解。
参考答案：y=2x/(1+x^2)

3.求二重积分∫∫√x^2+y^2 dxdy，其中积分区域D={(x,y)|x^2+y^2≤2x，0≤y≤x}。
参考答案：10/9√2
题目如图。步骤详细些，谢谢。

Answer 1

第二道： 令y / x＝t ===> y=xt ===> dy/dx = t + x dt/dx
t + x dt/dx = t² - t
x dt/dx = t² - 2t
dt / (t² -2t) = dx /x 利用 1/ (t² -2t) = 1/2 [1 / (t -2) - 1 / t]
dt / [1 / (t -2) - 1 / t] = 2 dx /x
Ln((t-2) / t) = Lnx² + LnC
(t-2) / t = Cx ²
t = -2 / (Cx² -1)
即 y / x = -2 / (Cx² -1)
y = -2x / (Cx² -1)
代入条件当x = 1时， y(1) = 1，得到C = -1
特解为：y = 2x / (x² +1)
第三道：求二重积分∫∫√x^2+y^2 dxdy，其中积分区域D={(x,y)|x^2+y^2≤2x，0≤y≤x}。
参考答案：10/9√2
D={(x,y)|x²+y²≤2x，0≤y≤x}
===> D={(x,y)|(x-1)² + y²≤1，0≤y≤x}
===>方法1：先x后y：D={(x,y)|(x = y →1+√(1 - y²)，0≤y≤1}
方法2：极坐标：r² = 2rcosθ；即： θ = 0→π/4；r = 0→2cosθ
原积分 = ∫∫√x^2+y^2 dxdy
=∫{θ = 0→π/4}∫{r = 0→2cosθ} √r² r drdθ
=∫{θ = 0→π/4}∫{r = 0→2cosθ} r² drdθ
=∫{θ = 0→π/4} 8cos³θ /3 dθ
=8/3∫{θ = 0→π/4} 1 - sin²θ dsinθ
=8/3 [ sinθ - sin³θ/3 ] {sinθ = 0→1/√2}
=8/3 [1/√2 - 1/(6√2)]
=8/3 [5/(6√2)]
=10/(9√2)

Answer 2

1、采用分段积分，从1/e到1积分，结果为1；加上从1到无穷积分（结果为1），最后结果为2

2、假设y/x=p，则dy/dx=x*dp/dx+p
原方程化为
dp/(p^2-2p)=dx/x
-1/2*(1/p)--1/2*(1/(p-2))*dp=lnx+C
p/(p+2)=C/x^2
带入p和初值就可以得到
y=2x/(1+x^2)

3、采用换元法，x=1+cosa，y=sina

追问

第二题的-1/2*(1/p)--1/2*(1/(p-2))*dp=lnx+C
p/(p+2)=C/x^2算不到这一步。详细点。

追答

-1/2*(1/p)-（-1/2）*(1/(p-2))*dp=lnx+C
[1/p-1/(p-2)]dp=-2*lnx+C
lnp-ln(p-2)=ln(1/x^2)+C
ln[p/(p-2)]=ln(1/x^2)+C
p/(p-2)=C/x^2
我写错了，是上面这样的

Answer 3

1
∫|lnx| dx/x^2=-∫|lnx|d(1/x)=-|lnx|/x+∫1/xd|lnx|
∫1/xd|lnx|=∫1/x^2dx=-1/x x→+∞ -|lnx|/x=0 1/x=0
x<e,∫1/xd|lnx| =-∫1/x^2dx=1/x+C
∫[1/e,+∞]|lnx|dx/x^2=1/(1/e)+1/(1/e)=2e
2
dy/dx = (y/x)^2 -y/x
y/x=p,y=xp
dy=pdx+xdp
dy/dx=p+xdp/dx
p+xdp/dx=p^2-p
dp/(p^2-2p)=dx/x
[(p-2)-p]dp/(p^2-2p)=-dlnx^2
dp/p-dp/(p-2)=-dlnx^2
dlnp-ln(p-2)=-dlnx^2
p/(p-2)=C/x^2
y/(y-2x)=C/x^2
y(1)=1
C=-1
(y-2x)/y=-x^2
1-2x/y=-x^2
1+x^2=2x/y
y=2x/(1+x^2)

Answer 4

kanbudonga