帮忙求极限
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解:分享一种解法,用无穷小量替换。x→0时,ln(1+x)~x-(1/2)x^2,e^x~1+x,
∵e^[(1+x)^(1/x)]=e^{e^[(1/x)ln(1+x)},∴e^[(1+x)^(1/x)]~e^[e^(1-x/2)]=e^[e*e^(-x/2)]~e^[e(1-x/2+(1/8)x^2]={e^[e(1-x/2]}*e^(e/8)x^2,
同理,(1+x)^(e/x)=e^[(e/x)ln(1+x)],∴(1+x)^(e/x)~e^[e(1-x/2)],
∴原式=lim(x→0){e^[e(1-x/2)]}[e^(e/8)x^2-1]/x^2=lim(x→0){e^[e(1-x/2)]}[1+(e/8)x^2-1]/x^2=(1/8)e^(e+1)。
供参考。
∵e^[(1+x)^(1/x)]=e^{e^[(1/x)ln(1+x)},∴e^[(1+x)^(1/x)]~e^[e^(1-x/2)]=e^[e*e^(-x/2)]~e^[e(1-x/2+(1/8)x^2]={e^[e(1-x/2]}*e^(e/8)x^2,
同理,(1+x)^(e/x)=e^[(e/x)ln(1+x)],∴(1+x)^(e/x)~e^[e(1-x/2)],
∴原式=lim(x→0){e^[e(1-x/2)]}[e^(e/8)x^2-1]/x^2=lim(x→0){e^[e(1-x/2)]}[1+(e/8)x^2-1]/x^2=(1/8)e^(e+1)。
供参考。
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