Question

求教下面这个式子是怎么化出来的。

(1^2+2^2+3^2+......+n^2)/n^3=n(n+1)(2n+1)/6n^3

本人愚钝，我弄了好久都没看懂，感觉中间应该省略了几步，求详细步骤，谢谢~

Answer 1

（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1） ：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2, 代入上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

其实这就是平方和的公式，你记住了加以灵活运用就好。