Question

若a.b.c.为△abc的三边，且满足a²＋b²＋c²＝ab＋ac＋bc,试判断△abc的形状。

Answer 1

a²＋b²＋c²＝ab＋ac＋bc
2a²＋2b²＋2c²＝2ab＋2ac＋2bc
2a²＋2b²＋2c²-2ab-2ac-2bc=0
(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0
三个大于等于0的数相加等于0，只能他们分别等于0.
所以a=b=c。
等边三角形。

Answer 2

等边三角形

Answer 3

a²＋b²＋c²＝ab＋ac＋bc
2a²＋2b²＋2c²－2ab－2ac－2bc＝0
(a²＋b²－2ab)＋(c²＋a²－2ac)＋(b²＋c²－2bc)＝0
(a－b)²＋(c－a)²＋(b－c)²＝0
∴a＝b＝c，等边三角形

Answer 4

解：由题意可得：
a²＋b²-c²=2abcosC
a²-b²＋c²=2accosB
b²＋c²-a²=2bccosA
等式两边相加可得：
a²＋b²＋c²＝2abcosC+2accosB+2bccosA=ab＋ac＋bc
所以cosA=cosB=cosC=1/2
所以A=B=C=π/3
所以△abc为等边三角形.