Question

初二的关于反比例函数的问题

如果一个正比例和一个反比例函数的图像有两个交点，那么这两个交点关于原点对称。
那么如果一个一次函数和一个反比例函数的图像有两个交点，这两个交点坐标有什么关系呢？
猜想：设其中一个交点坐标为（x,y)，则另一个交点的坐标为（-y,-x)
我的猜想正确吗？如果不正确，请给出正确的两点坐标关系。

Answer 1

不一定
正比例函数y=1/x,一次函数y=a*x+b,图形相交的话，联立两方程，得
a*x^2+b*x-1=0，
当b=0，则显然x取得互为相反数的值，再由y=1/x，解出的交点坐标必定是关于原点对称；
当b不等于0时，a*x^2+b*x-1=0的两根值相加为-b/a,不可能为0，也就是说两根值不可能互为相反数，交点坐标也就不再是关于原点对称

追问

我知道是不关于原点对称啊，我就想知道其中一个点的坐标后，怎么快速写出另一个点坐标（不用解方程组），这样填空选择题做起来快点。

追答

好像除了解方程，还没有更好的办法，除非b=0
否则你只能解方程，放心吧，一般考试不会考你的运算量的，
肯定是比较好的数字，祝你好运~

Answer 2

猜想自然是不对的了。
因为一次函数不等同于正比例函数。
简单的说，正比例函数是一次函数的一种特殊情况（y=kx+b,b=0)
那么由正比例函数怎么变化为一次函数呢？
其实，只要将正比例函数沿着y轴方向平移b个单位就可以得到任意一次函数了。
正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称。
平移后的一次函数和反比例函数的就会关于点（0，b）对称。
因此正确的坐标关系是：设其中一个交点坐标为（x，y）、则另一个交点坐标为（-x，2b-y）。

追问

可是我画图像发现，两个点并不关于点（0，b）对称啊，我用解方程组的方法算出两个点的坐标，他们的关系也不是像您说的那样呢，怎么回事呢？

追答

不好意思。刚才想当然了。没去细算、其实新的对称点和k与b都有关系。
假设一次函数为y=kx+b，反比例函数为y=a/x
联立方程得kx^2+bx-a=0.那么由伟达定理、x1+x2=-b/k
代入一次函数得y1+y2=k（x1+x2）+2b=b。
所以（x1，y1）（x2，y2）的对称点为[（x1+x2）/2,(y1+y2)/2]即（-b/2k,b/2)
这时候如果假设其中一个为（x，y），那么另外一个为（-b/k-x,b-y)