Question

已知a>0,函数f(x)=1/3a^2x^3-ax^2+2/3,g(x)=-ax+1,x属于R

问：若在区间(0,1/2]上至少存在一个实数x,使f(x)>g(x)成立，求正实数a的取值范围

Answer 1

f(x)-g(x)=1/3a^2x^3-ax^2+2/3+ax-1
= 1/3a^2x^3-ax^2+ax-1/3 >0
要使在区间(0,1/2]上至少存在一个实数x,使f(x)>g(x)成立既要在区间(0,1/2]上至少存在一个实数x使上式成立。显然a不为0，而上式又等价于a^2x^3-3ax^2+ax-1>0
令f（x）=a^2x^3-3ax^2+ax-1>0
再求导，然后解方程求出根，再画出大概图像，再去分析就很好理解了，答案是a<-3-根号17 或 a>-3+根号17

Answer 2

f(x)-g(x)=1/3a^2x^3-ax^2+2/3+ax-1
= 1/3a^2x^3-ax^2+ax-1/3

追问

我自己算了个结果是a-3+根号17

请问对不

追答

YES